Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）比较S_n与的大小．

Answer 1

（1）证法一：由a_n+1=2a_n-n+1，
得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则，
∴．…（4分）
证法二：
=，
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则，∴．…（4分）
（2）解：∵，
∴．…（5分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=，…①
∴（n-1），…②
由①-②，得
=
=1-，…（8分）
∴．…（9分）
（3）=2-（n+2）-
=
=，
当n=1时，；
n=2时，；
n≥3时，
＞=2n+1，
∴，
∴．
综上：n=1或2时，；
n≥3时，．…（12分）
分析：（1）法一：由a_n+1=2a_n-n+1，得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），又a₁=2，则a₁-1=1，由此能够证明数列{a_n-n}是等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
法二：=2，又a₁=2，则a₁-1=1，由此能够证明数列{a_n-n}是等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由，知，故S_n=，由错位相减法能够求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）=，当n=1时，；n=2时，；n≥3时，，由此知n=1或2时，；n≥3时，．
点评：本题考查等差数列的证明和数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和不等式的比较．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．