Question

A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆交于C、D两点.

(1)确定椭圆的长轴的范围，并求AB的方程；

(2)是否存在这样的实数λ，使得以AB为直径的圆恰好经过原点？如果有，求出λ，如不存在，请说明理由.

Answer 1

解：(1)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),∵A、B两点在椭圆上,

∴3x₁²+y₁²=λ，①

3x₂²+y₂²=λ，②

两式相减得3(x₁-x₂)(x₁+x₂)+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.

∵N（1，3）为AB的中点，∴x₁+x₂=2,y₁+y₂=6,得k_AB==-1,

这时AB的方程为：y=-x+4.                                                    

联立4x²-8x+16-λ=0.

∴Δ=8²-4×4×(16-λ)＞0,∴λ＞12,∴长轴2a=.                           

另解：∵AB与椭圆有两个公共点，且N为AB中点，∴N(1，3)必须在椭圆的内部,

∴3+3²＜λ,∴λ＞12.

(2)设满足条件的λ存在,

由(1)得4x²-8x-λ+16=0得x₁+x₂=2,x₁·x₂=,

∴y₁·y₂=x₁x₂-4(x₁+x₂)+16,由题意知=0.

即x₁·x₂+y₁·y₂=0,∴x₁x₂-2(x₁+x₂)+8=0.

∴-4+8=0,得λ=32＞12,∴存在λ=32满足题设要求.

另解：联立分别消去x、y,

得4x²-8x-λ+16=0,①

4y²-24y+48-λ=0,②

①+②得2x²+2y²-4x-12y+32-λ=0.

即为以AB为直径的圆的方程.∵圆过原点,∴λ=32为所求.