Question

已知数列{a_n}中，an=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N₊），
（1）若a1=

3

5

，数列{b_n}满足bn=

1

an-1

（n∈N₊），求证数列{b_n}是等差数列；
（2）若a1=

3

5

，求数列{a_n}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）若1＜a₁＜2，试证明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

分析：（1）要证明数列{b_n}是等差数列，只需证明它的后一项与前一项的差为非零常数即可，先根据数列{a_n}的递推公式推出数列{b_n}的递推公式，即可证明．
（2）由（1）可得数列{b_n}的通项公式，再由bn=

1

an-1

，可得数列{a_n}的通项公式，判断数列{a_n}对应连续函数得单调性，得到数列的单调性，进而可得数列的最值；
（3）先用数学归纳法证明1＜a_n＜2，注意递推式an=2-

1

an-1

的使用，再证明数列是递减数列，利用a_n+1-a_n＜0，不等式可证．

解答：解：（1）bn=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1 -1

=

an-1

an-1-1

，而bn-1=

1

an-1-1

，
∴bn-bn-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首项为b1=

1

a1-1

=-

5

2

，公差为1的等差数列．
（2）依题意有an-1=

1

bn

，而bn=-

5

2

+(n-1)•1=n-3.5，
∴an-1=

1

n-3.5

．对于函数y=

1

x-3.5

，
在x＞3.5时，y＞0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（3.5，+∞）上为减函数．且y＞0，故当n=4时，an=1+

1

n-3.5

取最大值3．
而函数y=

1

x-3.5

在x＜3.5时，y＜0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（-∞，3.5）上也为减函数．且y＜0，故当n=3时，取最小值，a₃=-1．
∴数列{a_n}中的最大项是a₄=3；最小项是a₃=-1
（3）先用数学归纳法证明1＜a_n＜2，再证明a_n+1＜a_n．①当n=1时，1＜a₁＜2成立；
②假设当n=k时命题成立，即1＜a_k＜2，
当n=k+1时，

1

2

＜

1

ak

＜1?ak+1=2-

1

ak

∈(1，

3

2

)?1＜a_k+1＜2故当n=k+1时也成立，
综合①②有，命题对任意n∈N₊时成立，即1＜a_n＜2．
（也可设f(x)=2-

1

x

（1≤x≤2），则f′(x)=

1

x2

＞0，
故1=f（1）＜ak+1=f(ak)＜f(2)=

3

2

＜2）．
进而证明a_n+1＜a_n
∵an+1-an=2-(an+

1

an

)＜2-2

an• 1 an

=0
∴a_n+1＜a_n

点评：本题综合考查了等差数列的证明、数列的最值及数列与不等式证明，重点考查了数列的函数性质，解题时要认真体会，准确作答．