Question

（海南宁夏卷理21）设函数，曲线在点处的切线方程为。

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

Answer 1

【试题解析】（Ⅰ），

于是

解得或

因，故．

    (II)证明：已知函数都是奇函数，

所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。

而函数。

可知，函数的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点（1，1）为中心的中心对称图形。

（III）证明：在曲线上任一点.

由知,过此点的切线方程为.

令得,切线与直线交点为.

令得,切线与直线交点为.

直线与直线的交点为(1,1).

从而所围三角形的面积为.

所以, 所围三角形的面积为定值2.