Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=-

1

4

．
（I）求sinC的值；  
（II）当a=2，2sinA=sinC时，求b的长及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，根据C为三角形的内角得到sinC的值大于0，计算即可求出sinC的值；  
（II）由2sinA=sinC，及a的值，利用正弦定理求出c的值，再由二倍角的余弦函数公式化简已知等式求出cosC的值，由a，c及cosC的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（I）∵cos2C=1-2sin²C=-

1

4

，0＜C＜π，
∴sinC=

10

4

；
（Ⅱ）∵a=2，2sinA=sinC，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=2a=4，
∵cos2C=2cos²C-1=-

1

4

，0＜C＜π，
∴cosC=±

6

4

，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得b²±

6

b-12=0，
解得：b=

6

或b=2

6

，
则当b=

6

时，S_△ABC=

1

2

absinC=

15

2

；当b=2

6

时，S_△ABC=

1

2

absinC=

15

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．