题目内容

(2006•蚌埠二模)m、n∈R,
a
b
c
是共起点的向量,
a
b
不共线,
c
=m
a
+n
b
,则
a
b
c
的终点共线的充分必要条件是(  )
分析:要证三点共线,先构造以这三点为起点和终点的向量,让所给的三个向量两两相减,得到两个向量共线,则其中一个可以写成另一个的实数倍,根据系数相等,构成方程,解方程即可.
解答:解:因为
a
b
c
的终点共线,所以
c
-
a
c
-
b
,这两个向量肯定共线
c
=m
a
+n
b

c
-
a
=(m-1)
a
+n
b

c
-
b
=m
a
+(n-1)
b

因为共线,所以系数成比例
m-1
n
=
m
n-1

∴m+n=1
反之,若m+n=1,可得
a
b
c
的终点共线
故选D.
点评:本题的考点是充要条件,主要考查的是向量共线和向量用基底表示,用一组向量来表示一个向量,是以后解题过程中常见到的,向量的加减运算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题.
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