Question

(理)已知一个袋中装有3个白球和3个红球,这些球除颜色外都相同.

(1)每次从袋中取一个球,取出后不放回,直到取出1个红球为止,求取球次数ξ的分布列和数学期望Eξ;

(2)每次从袋中取一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取3次,求取出红球次数η的数学期望Eη.

(文)已知关于x的不等式log_a(8-ax)＞1在区间［1,2］上恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

(理)解：(1)ξ的取值为1,2,3,4,2分

P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,

P(ξ=3)=,P(ξ=4)=.                              

ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P

∴Eξ=1×+2×.                                     

(2)每次取出红球的概率为,                                             

则η&B(3,).                                                               

Eη=3×=.                                                               

(文)解：当a＞1时,log_a(8-ax)＞1log_a(8-ax)＞log_aa8-ax＞aa＜(x∈［1,2］).  

根据条件,a应小于f(x)=(x∈［1,2］)的最小值是,∴1＜a＜.                 

当0＜a＜1时,log_a(8-ax)＞1log_a(8-ax)＞log_aa0＜8-ax＜a(x∈［1,2］).  

根据条件,a应小于f₁(x)=(x∈［1,2］)的最小值4;同时a应大于f₂(x)=(x∈［1,2］)的最大值4,即4＜a＜4,不成立.                                                   

综上,a的取值范围是(1,).