题目内容
（2012•广元三模）已知A、B、C三点均在椭圆M：
+y2=1（a＞1）上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2，当
•
=0，有9
•
=
2．
（I）求椭圆M的方程；
（II）设P是椭圆M上任意一点，求
•
的最大值和最小值．
| x2 |
| a2 |
| AC |
| F1F2 |
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
（I）求椭圆M的方程；
（II）设P是椭圆M上任意一点，求
| PF1 |
| PF2 |
分析：（I）由题意可得AF2⊥F1F2． 设|AF2|=m，则|AF1|=2a-m，再由勾股定理可得am=1．利用两个向量的夹角公式求出cos＜
，
＞，再利用两个向量的数量积的定义，结合
9
•
=
2 可得 m=
，故有 a2=2，由此求得椭圆M的方程．
（II）由上可得 F1（-1，0），F2（1，0），设P（x，y），化简
•
=x2+y2-1，再由
+y2=1 可得
•
=1-y2．由于-1≤y≤1，0≤y2≤1，
从而得到
•
=1-y2的最大值和最小值．
| AF1 |
| AF2 |
9
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
| a |
| 2 |
（II）由上可得 F1（-1，0），F2（1，0），设P（x，y），化简
| PF1 |
| PF2 |
| x2 |
| 2 |
| PF1 |
| PF2 |
从而得到
| PF1 |
| PF2 |
解答：解：（I）∵
•
=0，∴
⊥
，即 AF2⊥F1F2． 设|AF2|=m，则|AF1|=2a-m．
再由勾股定理可得 （2a-m）2=m2+（2c）2 且 c2=a2-1，故 am=1．
又 cos＜
，
＞=
=
，∴|AF2|=
•|AF1|．
再由 9
•
=
2 可得，9•|AF1|•（
•|AF1|）•
=|
|2，即 (
)2=1，
解得 m=
，故有 a2=2，故椭圆M的方程为
+y2=1．
（II）由上可得 F1（-1，0），F2（1，0），设P（x，y），
•
=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x2+y2-1．
再由P是椭圆M上任意一点，
+y2=1 可得
•
=1-y2．
由题意可得-1≤y≤1，0≤y2≤1，故
•
=1-y2的最大值为1，最小值等于0．
| AC |
| F1F2 |
| AC |
| F1F2 |
再由勾股定理可得 （2a-m）2=m2+（2c）2 且 c2=a2-1，故 am=1．
又 cos＜
| AF1 |
| AF2 |
| |AF2| |
| |AF1| |
| m |
| 2a-m |
| m |
| 2a-m |
再由 9
| AF1 |
| AF2 |
| AF1 |
| m |
| 2a-m |
| m |
| 2a-m |
| AF1 |
| 3m |
| 2a-m |
解得 m=
| a |
| 2 |
| x2 |
| 2 |
（II）由上可得 F1（-1，0），F2（1，0），设P（x，y），
| PF1 |
| PF2 |
再由P是椭圆M上任意一点，
| x2 |
| 2 |
| PF1 |
| PF2 |
由题意可得-1≤y≤1，0≤y2≤1，故
| PF1 |
| PF2 |
点评：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
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