Question

【题目】如图1，在中，，，，、分别是、上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当长为多少时，异面直线，所成的角最小，并求出此时所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）当时，异面直线，所成的角最小，此时所成角的余弦值为

【解析】

（Ⅰ）根据线线垂直线面垂直（Ⅱ）利用垂直关系写出函数关系，求函数的最小值，最后结合余弦函数的单调性可求得。

解：（Ⅰ）证明：因为平面，

又平面，所以，

平面；

（Ⅱ）如图，连结，并设，，，

由（Ⅰ）中平面，所以有，从而在中，

，

又在中，，

显然，当时，，

即（或是为中点）时，线段的长度有最小值，最小值是.

又因为，且，则即为异面直线，所成的角，

又在中，.结合余弦函数在锐角范围上是单调递减函数，所以当取最大时，取最小.

综上，当时，异面直线，所成的角最小，此时所成角的余弦值为.