Question

已知函数f(x)

cos2x

sin( π 4 -x)

．
（Ⅰ）求函数定义域及单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）≥1，求角C的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)

cos2x

sin( π 4 -x)

，知定义域为{x|x≠kπ+

π

4

，k∈Z}．由三角函数恒等式推导出f(x)=

cos2x-sin2x

sin π 4 cosx-cos π 4 sinx

=2sin(x+

π

4

)，由此能求出函数f（x）单调递增区间．
（Ⅱ）由f（C）≥1，知sin(C+

π

4

)≥

1

2

，故2kπ+

π

6

≤C+

π

4

≤2kπ+

5π

6

，由此能求出角C的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)

cos2x

sin( π 4 -x)

，
∴sin(

π

4

-x)≠0，即

π

4

-x≠kπ(k∈Z），
其定义域为{x|x≠kπ+

π

4

，k∈Z}．…（2分）
∴f(x)=

cos2x-sin2x

sin π 4 cosx-cos π 4 sinx

=

(cosx-sinx)(sinx+cosx)

2 2 (cosx-sinx)

=

2

(sinx+cosx)
=2sin(x+

π

4

)，…（6分）
令2kπ-

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

π

2

，
得2kπ-

3π

4

＜x＜2kπ+

π

4

，
∴函数f（x）单调递增区间为(2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

)k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）∵f（C）≥1，
∴sin(C+

π

4

)≥

1

2

，
∴2kπ+

π

6

≤C+

π

4

≤2kπ+

5π

6

，…（10分）
即2kπ-

π

12

≤C≤2kπ+

7π

12

∵0＜C＜π且C≠

π

4

∴0＜C＜

π

4

或

π

4

＜C≤

7π

12

．…（12分）

点评：本题考查三角函数的定义域和单调递增区间和角的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的灵活运用．