Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）。已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。

（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P。
（i）若AF₁-BF₂=，求直线AF₁的斜率；
（ii）求证：PF₁+PF₂是定值。

Answer 1

解：（1）由题设知a²=b²+c²，e=，
由点（1，e）在椭圆上，得，
∴b=1，c²=a²-1
由点（e，）在椭圆上，得
∴，
∴a²=2
∴椭圆的方程为。
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直线AF₁与直线BF₂平行，
∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由，可得（m²+2）-2my₁-1=0
∴，
∴|AF₁|=①
同理|BF₂|=②
（i）由①②得|AF₁|-|BF₂|=，
∴，解得m²=2
∵注意到m＞0，
∴m=
∴直线AF₁的斜率为。
（ii）证明：∵直线AF₁与直线BF₂平行，
∴，即
由点B在椭圆上知，，
∴
同理
∴PF₁+PF₂==
由①②得，，，
∴PF₁+PF₂=
∴PF₁+PF₂是定值。