题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
| ||
| 2 |
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．
分析：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，利用三角形中位线的性质，可知EF∥PA，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）先证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，从而可得平面PAB⊥平面PCD．
（2）先证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，从而可得平面PAB⊥平面PCD．
解答：
证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，
故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD…（6分）
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以，CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=PD=
AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=
，即PA⊥PD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）
证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD…（6分）
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以，CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=PD=
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所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=
| π |
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又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）
点评：本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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