Question

已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=S_n+(n+1)(n∈N^*).

(1)证明：{a_n+1}是等比数列；

(2)求a_n.

Answer 1

思路分析：可由已知中消去S_n，用等比数列定义=q(非零常数)证明.

(1)证明：∵a_n+1=S_n+(n+1)，                  ①

a_n=S_n-1+n(n≥2)，                                 ②

①-②得a_n+1-a_n=a_n+1.

∴a_n+1+1=2(a_n+1),

即=2(n≥2).

又a₂=S₁+(1+1)=3,

而=2，∴=2(n∈N^*).

∴{a_n+1}是等比数列.

(2)解：由(1)得{a_n+1}是一个首项为2，公比为2的等比数列.

∴a_n+1=2·2^n-1=2ⁿ.

∴a_n=2ⁿ-1.