Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB、BC的中点．
（Ⅰ）求证：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直线SN与平面CMN所成角的大小．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明直线垂直，求二面角的大小以及直线和平面所成的角．

解答：解：（Ⅰ）证明：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，

1

2

），N（

1

2

，0，0），S（1，

1

2

，0），

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
∵

CM

?

SN

=(1，-1，

1

2

)?(-

1

2

，-

1

2

，0)=0，
∴CM⊥SN．
（Ⅱ）设

m

=(0，0，1)为平面CBA的法向量，

CB

=(2，-1，0)，

PC

=(0，1，-1)，
设

n

=(x，y，z)为平面PCB的一个法向量
则

2x-y=0 y-x=0

令x=1得

n

=(1，2，2，)，
 cos?＜

m

，

n

＞=

m ? n

|m| |n|

=

2

3

，
二面角P-CB-A的余弦值为

2

3

．
（Ⅲ）同理可得平面CMN的一个法向量

a

=(2，1，-2)
设直线SN与平面CMN所成角为θ，
∵sinθ=|cos＜

SN

，

a

＞|=

2

2

，
∴SN与平面CMN所成角为45°．

点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及空间二面角和直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．