Question

已知函数f(x)=log

1

2

cos

πx

3

，函数g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)，x∈（0，1），若存在x₁，x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（

  1

  2

  ，

  4

  3

  ）
• B．(

  2

  3

  ，1)
• C．(

  4

  3

  ，

  3

  2

  )
• D．（

  1

  2

  ，

  4

  3

  ）

Answer 1

分析：先由条件求得f（x）的值域，函数g（x）的值域，再根据这两个函数的值域的交集非空，求得a的范围．

解答：解：由于x∈（0，1），可得f（x）的值域为（0，1），
函数g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)的值域为（2-2a，2-

3a

2

），
由于存在x₁，x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂）成立，故（0，1）∩（2-2a，2-

3a

2

）≠∅，
若（0，1）∩（2-2a，2-

3a

2

）=∅，则有2-2a≥1，或 2-

3a

2

≤0．
解得 a≤

1

2

，或a≥

4

3

，故a的范围为（

1

2

，

4

3

）．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．