Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上．
（1）写出S_n关于n的函数表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）计算T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|；
（4）已知bn=

an-13

2

，若对一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用点（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上，可得

Sn

n

=-n+12，由此可求S_n关于n的函数表达式；
（2）再求一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-a₇-…-a₁₆=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a₆+a₇+…+a₁₆），即可求得结论；
（4）bn=

an-13

2

=-n，若对一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，即为-n²+12n-3＜-mn对一切n∈N^*均成立，由此可得实数m的取值范围．

解答：解：（1）由题意，∵点（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上，∴

Sn

n

=-n+12
∴S_n=-n²+12n；
（2）当n=1时，a_n=a₁=S₁=11；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-[-（n-1）²+12（n-1）]=-2n+13，
∴n=1时，结论成立
∴a_n=-2n+13；
（3）T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-a₇-…-a₁₆=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a₆+a₇+…+a₁₆）
=2S₆-S₁₆=136；
（4）bn=

an-13

2

=-n，若对一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，即为-n²+12n-3＜-mn对一切n∈N^*均成立…（10分）
即m＜n+

3

n

-12对一切n∈N^*均成立
∴m＜-

17

2

…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．