Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+ax2+4，g（x）=2（x+2）²，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）与g（x）的公共单调区间；
（Ⅱ）若函数h（x）有极值，求实数a的何值范围；
（Ⅲ）当a＜0时，讨论函数h（x）的零点个数．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=x²+2x=x（x+2）…（1分）
由f'（x）＞0得x＜-2或x＞0，由f'（x）＜0得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞），递减区间是（-2，0），…（3分）
又g（x）的对称轴为x=-2且开口向上，
∴g（x）的单调递增区间是（-2，+∞），递减区间是（-∞，-2），…（4分）
∴a=1时，f（x）与g（x）的公共单调递增区间是（0，+∞），无公共递减区间…（5分）
（Ⅱ）h(x)=f(x)+g(x)=

1

3

ax3+(a+2)x2+8x+12
∴h'（x）=ax²+2（a+2）x+8=（ax+4）（x+2）…（6分）
①当a=0时，h'（x）=2x²+8x+12=2（x+2）²+4在（-2，+∞）递增，
在（-∞，-2）递减，则h（x）有极小值，符合题设…（7分）
②当a≠0时，令h'（x）=0得，x₁=-2，x2=-

4

a

，
若函数h（x）有极值，h'（x）=0两个相异实根，∴-2≠-

4

a

，得 a≠2
综上（1）（2）得，若函数h（x）有极值，实数a的何值范围是：{a/a≠2，a∈R}…（9分）
（Ⅲ）∵a＜0，由h'（x）=（ax+4）（x+2）=0得x=-2或x=-

4

a

，
则-

4

a

＞-2
将x，h'（x），h（x）的变化情况列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，- 4 a ）	- 4 a	（- 4 a ，+∞）
h'（x）	-	0	+	0	-
h （ x ）	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴h(x)极小值=h(-2)=

4

3

a+4，h（x）_极大值＞h（0）=12＞0…（11分）
（另设

1

a

=t，h(x)极大值=h(-4t)=

32

3

(t-

3

4

)2+6＞0，亦可）
当

4

3

a+4＞0即-3＜a＜0时，在x充分大时，h（x）＜0，∴h（x）零点个数为1；
当

4

3

a+4=0即a=-3时，h（x）零点个数为2；
当

4

3

a+4＜0即a＜-3时，h（x）零点个数为3；               …（13分）
综上所述，当-3＜a＜0时，h（x）零点个数为1；当a=-3时，h（x）零点个数为2；
当a＜-3时，h（x）零点个数为3．…（14分）