题目内容

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点
（1）若弦AB的长为 $数学公式$ ，求直线l的方程；
（2）求证： $数学公式$ 为定值．

解：（1）设直线方程y=kx，所以 $\text{[math]}$ ，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时 $\text{[math]}$ …（6分）
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）， $\text{[math]}$
消y得（1+k²）x²-（6k+2）x+6=0，…（7分）
$\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
综上： $\text{[math]}$ …（11分）
分析：（1）设出直线AB的方程，利用弦AB的长为 $\text{[math]}$ ，通过半弦长，半径，弦心距，求出直线中变量的值，可得直线l的方程；
（2）通过直线的斜率不存在与存在两种情况分别证明： $\text{[math]}$ 为定值．斜率存在时，联立直线与圆的方程，通过向量的数量积的坐标运算，求出数量积为定值即可．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长与半径，弦心距的关系，解答直线方程时注意直线的斜率是否存在是解题的关键．