题目内容

过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间．
（Ⅰ） $数学公式$ ，求直线l的方程；
（Ⅱ）求当 $数学公式$ 取得最小值时直线l的方程．

解：由题意知，直线l的斜率k存在且k≠0，
设l：y=k（x-4）+2，得令y=0，得x=4- $\text{[math]}$ ，所以A（4- $\text{[math]}$ ，0），
再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k）…2分
因为点P（4，2）位于A、B两点之间，所以 $\text{[math]}$ 且2-4k＞2，解得k＜0．
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，2）， $\text{[math]}$ =（-4，-4k）…2分
（Ⅰ）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
∴直线l的方程为y= $\text{[math]}$ （x-4）+2，整理得x+6y-16=0．…3分
（Ⅱ）因为k＜0，所以 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 即k=-1时，等号成立．
∴当 $\text{[math]}$ 取得最小值时直线l的方程为y=-（x-4）+2，化为一般式：x+y-6=0．…3分．
分析：设直线l：y=k（x-4）+2，可求出A（4- $\text{[math]}$ ，0），B（0，2-4k）．结合P位于A、B之间，建立不关于k的不等式，可得k＜0．
（I）由A、B、P的坐标，得出向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 坐标，从而将 $\text{[math]}$ 化为关于k的方程，解出k值即得直线l的方程；
（II）由向量数量积的坐标运算公式，得出 $\text{[math]}$ 关于k的表达式，再用基本不等式得到 $\text{[math]}$ 取得最小值时l的斜率k，从而得到直线l的方程．
点评：本题以向量的坐标运算为载体，求直线l的方程．着重考查了直线的方程和向量在几何中的应用等知识，属于中档题．