Question

【题目】已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a，且当x∈[0， ]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再将所得图象向右平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0， ]上所有根之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：化简可得f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a

=cos2x+1+ sin2x+a=2sin（2x+ ）+a+1，

∵x∈[0， ]，

∴2x+ ∈[ ， ]，

∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，

∴f（x）=2sin（2x+ ）+3，

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，（k∈Z）

（2）解：由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，

由g（x）=4可得sin（4x﹣ ）= ，

∴4x﹣ =2kπ+ 或4x﹣ =2kπ+ ，

解得x= + 或x= + ，（k∈Z），

∵x∈[0， ]，

∴x= 或x= ，

∴所有根之和为 + =

【解析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣ ）+3，可得sin（4x﹣ ）= ，解方程可得x= 或x= ，相加即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：，以及对正弦函数的单调性的理解，了解正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．