题目内容
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G．
（1）求二面角B1-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB1上的一点，当
的值为多少时能使D1M⊥平面EFB1？试给出证明．
（1）求二面角B1-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB1上的一点，当
| B1M |
| MB |
（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，连接B1G．
又∵BB1⊥ABCD，∴B1G⊥EF．
则∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角，BG=
BD=
a，
tan∠B1GB=
=2
．
（2）当
=1时满足题意．
证明：D1A1⊥面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M，
∵△A1MB≌△B1EB，∴A1M⊥B1E，即D1M⊥B1E．
因为DD1⊥平面ABCD，所以BD为D1M在平面ABCD内射影，
连接AC，因为E、F为中点，所以AC∥EF，
又因为BD⊥EF，所以D1M⊥EF．又因为B1E∩EF=E．
∴D1M⊥平面EFB1
又∵BB1⊥ABCD，∴B1G⊥EF．
则∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角，BG=
| 1 |
| 4 |
| ||
| 4 |
tan∠B1GB=
| B1B |
| BG |
| 2 |
（2）当
| B1M |
| MB |
证明：D1A1⊥面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M，
∵△A1MB≌△B1EB，∴A1M⊥B1E，即D1M⊥B1E．
因为DD1⊥平面ABCD，所以BD为D1M在平面ABCD内射影，
连接AC，因为E、F为中点，所以AC∥EF，
又因为BD⊥EF，所以D1M⊥EF．又因为B1E∩EF=E．
∴D1M⊥平面EFB1
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