Question

（2013•虹口区二模）如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理的逆定理证明DE⊥AE，及PA⊥平面ABCD，根据三垂线定理即可证明PE⊥DE；
（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．利用三角形的中位线定理可知∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．再利用余弦定理即可得出．

解答：（1）证明：连接AE，由AB=BE=1，得AE=

2

，同理DE=

2

，
∴AE²+DE²=4=AD²，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，根据三垂线定理可得PE⊥DE．
（2）取PA的中点M，AD的中点N，连MC、NC、MN、AC．
∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．
由PA=2，AB=1，BC=2，得NC=MN=

2

，MC=

6

，∴cos∠MNC=

2+2-6

2• 2 • 2

=-

1

2

，∠MNC=

2π

3

．
∴异面直线PD与AE所成的角的大小为

π

3

．

点评：熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、三角形的中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理是解题的关键．