Question

已知函数f(x)=

2

x

-xm，且f(4)=-

7

2

．
（1）求m的值；     
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）在区间[-5，-1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由f(4)=-

7

2

代入可求m
（2）先设0＜x₁＜x₂，利用作差可得f(x2)-f(x1)=(

2

x2

-x2)-(

2

x1

-x1)=(

2

x2

-

2

x1

)+(x1-x2)=(x1-x2)(1+

2

x2x1

)，根据已知判断比较f（x₂）与f（x₁）即可
（3）由（1）知：函数f(x)=

2

x

-x，其定义域为{x|x≠0}．且可证函数f（x）为奇函数．结合（2）知f（x）在[1，5]上为减函数，则根据奇函数的性质可知函数f（x）在区间[-5，-1]上为减函数．结合函数单调性可求

解答：解：（1）由f(4)=-

7

2

得：

2

4

-4m=-

7

2

，
即：4^m=4，解得：m=1；…（2分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（3分）
证明：设0＜x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=(

2

x2

-x2)-(

2

x1

-x1)=(

2

x2

-

2

x1

)+(x1-x2)=(x1-x2)(1+

2

x2x1

)；…（5分）
∵0＜x₁＜x₂
∴(x1-x2)(1+

2

x2x1

)＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（7分）
（3）由（1）知：函数f(x)=

2

x

-x，其定义域为{x|x≠0}．…（8分）
∴f(-x)=

2

-x

-(-x)=-(

2

x

-x)=-f(x)，即函数f（x）为奇函数．…（9分）
由（2）知：f（x）在[1，5]上为减函数，则函数f（x）在区间[-5，-1]上为减函数．…（10分）
∴当x=-5时，f（x）取得最大值，最大值为f(-5)=-

2

5

+5=

23

5

；
当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为f（-1）=-2+1=-1．…（12分）
（其他解法请参照给分）

点评：本题主要考查了定义法证明函数的单调性，一般步骤是①设量②作差③定号④给出结论；还考查了奇函数的性质：奇函数对称区间上单调性相同，及利用函数的单调性求解函数在区间上的最值．