Question

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，且短半轴b=1，F₁，F₂为其左右焦点，P是椭圆上动点．

（Ⅰ）求椭圆方程．

（Ⅱ）当∠F₁PF₂=60°时，求△PF₁F₂面积．

（Ⅲ）求取值范围．

Answer 1

考点：

圆锥曲线的综合．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（Ⅰ）利用椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，且短半轴b=1，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆方程．

（Ⅱ）当∠F₁PF₂=60°时，利用余弦定理，求出|PF₁||PF₂|，再利用三角形面积公式，可求△PF₁F₂面积．

（Ⅲ）用坐标表示向量，再利用数量积公式，即可求取值范围．

解答：

解：（Ⅰ）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，且短半轴b=1，

∴

∴椭圆方程为…（4分）

（Ⅱ）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，

∵，

∴在△PF₁F₂中，由余弦定理得：=12=m²+n²﹣2mncos60°=m²+n²﹣mn=（m+n）²﹣3mn=16﹣3mn

∴…（7分）

∴…（9分）

（Ⅲ）设P（x₀，y₀），则，即

∵，∴

∴…（11分）

∵﹣2≤x₀≤2，∴

故…（13分）

点评：

本题考查椭圆的方程，考查余弦定理的运用，考查向量数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．