Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.

(Ⅰ)求证：BM∥平面PAD；

(Ⅱ)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；

(Ⅲ)求直线PC到平面PBD所成角的正弦.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵M是PC的中点,取PD的中点E,则MECD,又ABCD

∴四边形ABME为平行四边形∴BM∥24,BM平面PAD

EA平面PAD  ∴BM∥平面PAD 

(Ⅱ)以A为原点,以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,

则B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0.0,2),M(1,1,1),E(0,1,1)在平面PAD内设N(0,y,z),

=(-1,y-1,z-1),=(1,0,-2),=：(1,-2,0)

由  ∴=-1-2z+2=0.∴z=;

由  ∴=-1-2y+2=0 ∴y=

∴N(0,,)  ∴N是AE的中点,此时MN⊥平面PBD

(Ⅲ)设直线PC与平面PBD所成的角为θ

=(2,2,-2),=(-1,),设()为α,

cosα=sinθ=-cosα=

故直线PC与平面PBD所成角的正弦为 

解法二：(1)∵M是PC的中点,取PD的中点E,则MECD,又ABCD

∴四边形ABME为平行四边形∴BM∥EA,BM平面PAD

EA平面PAD  ∴BM∥平面PAD 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ABME为平行四边形PA⊥底面ABCD  ∴PA⊥AB,又AB⊥AD

∴AB⊥平面PAD  同理CD⊥平面PAD,AE平面PAD∴AB⊥AE  ∴ABME为矩形

CD∥ME,CD⊥PD,又PD⊥AE∴ME⊥PD  ∴PD⊥平面ABME  PD平面PBD

∴平面PBD⊥平面ABME  作MF⊥EB故MF⊥平面PBDMF交AE于N,在矩形ABME内,AB=ME=1,AE=∴MF=,NE=  N为AE的中点

∴当点N为AE的中点时,MN⊥平面PBD 

(Ⅲ)由(Ⅱ)知MF为点M到平面PBD的距离,∠MPF为直线PC与平面PBD所成的角,设为θ,sinθ=M=∴直线PC与平面PBD所成的角的正弦值为