Question

【题目】已知函数在区间单调递减，在区间单调递增.函数.

（1）请写出函数与函数在的单调区间；（只写结论，不需证明）

（2）求函数的最大值和最小值；

（3）讨论方程实根的个数.

Answer 1

【答案】（1）的减区间是，增区间是；的减区间是，增区间是；（2）最小值，最大值；（3）详见解析.

【解析】

（1）由已知函数的单调区间，即可得到所求的两个函数的单调区间；

（2）化简的函数解析式，再由已知结论，可得函数在上单调递减，在上单调递增，即可得到所求函数的最值；

（3）化简方程可得或，又函数在上单调递减，在上单调递增，分类讨论可得到方程根的个数.

根据条件，的单调递减区间是

单调递增区间是；

函数的单调递减区间是，单调递增区间是；

由可知，与均在单调递减，在上单调递增，

则有函数在单调递减，在上单调递增，

所以，；

由可得，

所以有或，

又函数在单调递减，在单调递增，

而，

所以当时，方程无实数根；

当时，有一个实数根；

当，且即，方程有两个实数根；

当，，方程有三个实数根；

当时，方程有四个实数根．

综上，当时，方程实根个数为0；

当时，方程实根个数为1；

当时，方程实根个数为2；

当，时，方程实根个数为3；

当时，方程实根个数为4．