Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，

an-1

an

=

an-1+1

1-an

（n∈N^*，n＞1）．
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和S_n；
（3）设f_n（x）=S_nx²ⁿ⁺¹，b_n=f'_n（2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）将已知的等式两边同时乘以a_n（1-a_na_n-1）得到a_n-1-a_n-2a_n-1a_n=0，两边同除以a_na_n-1，利用等差数列的定义得到
证明．
（2）利用数列{

1

an

}是等差数列求出an=

1

2n-1

，进一步求出{a_na_n+1}的通项，根据其特点，利用裂项求和的方法求出数列{a_na_n+1}的前n项和S_n；
（3）将（2）中的S_n代入f_n（x），利用导数的运算法则求出b_n=f'_n（2），根据其特点是一个等差数列与一个等比数列的乘积，选择错位相减的方法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）证明：当n≥2时，由

an-1

an

=

an-1+1

1-an

得：a_n-1-a_n-2a_n-1a_n=0
两边同除以a_na_n-1得：

1

an

-

1

a n-1

=2（2分）
∴{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，d=2为公差的等差数列（4分）
（2）由（1）知：

1

an

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

（6分）
∴anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

（8分）
（3）fn(x)=

n

2n+1

•x2n+1，
∴b_n=n•2²ⁿ
T_n=4+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ
4T_n=4²+2×4³+3×4⁴+…+（n-1）×4ⁿ+n×4ⁿ⁺¹
相减得：-3Tn=4+42+43+…+4n-n×4n+1=-

(3n-1)×4n+1+4

3

∴Tn=

(3n-1)×4n+1+4

9

（12分）

点评：本题考查求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，然后根据通项的特点选择合适的求和方法，属于中档题．