Question

如图，直线y=kx+b与椭圆

x2

4

+y2=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出点A，B的坐标利用椭圆的方程求得A，B的横坐标，进而利用弦长公式和b，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．
（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB的长度的表达式，利用O到直线AB的距离建立方程求得b和k的关系式，求得k．则直线的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）设点A的坐标为（x₁，b），点B的坐标为（x₂，b），
由

x2

4

+b2=1，解得x1，2=±2

1-b2

，
所以S=

1

2

b•|x1-x2|=2b•

1-b2

≤b²+1-b²=1．
当且仅当b=

2

2

时，S取到最大值1．

（Ⅱ）解：由

y=kx+b x2 4 +y2=1

得(k2+

1

4

)x2+2kbx+b2-1=0，①
△=4k²-b²+1，
|AB|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+k2

•

4k2-b2+1

1 4 +k2

=2．②
设O到AB的距离为d，则d=

2S

|AB|

=1，
又因为d=

|b|

1+k2

，
所以b²=k²+1，代入②式并整理，得k4-k2+

1

4

=0，
解得k2=

1

2

，b2=

3

2

，代入①式检验，△＞0，
故直线AB的方程是y=

2

2

x+

6

2

或y=

2

2

x-

6

2

或y=-

2

2

x+

6

2

，或y=-

2

2

x-

6

2

．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．