Question

【题目】如图，在长方体中，，，分别是面，面，面的中心，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积；

（3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，请求出的长度；如果不存在，求说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,

【解析】

（1）延长分别至,由中心可得到中点,利用中位线证明相交直线平行即可证得面面平行；

（2）先求出三棱锥的体积,再由三棱锥各边的比求出的体积即可；

（3）将平面平面转化为平面平面,由长方体可得,因为,作出即可,进而求得

（1）证明：延长分别至,

,,分别是面,面,面的中心,

,,是,,的中点,

,,

又,,

平面,平面,

平面平面

（2）由题,

,

由（1）可得,三棱锥的各棱长为三棱锥的,

（3）存在,

是长方体的侧棱,

平面,

平面,

,

连接,作,垂足为,

因为长方体,,,,

,

,平面,

平面,

平面,

平面平面,

由（1）,平面平面,

平面平面,

此时,,

,

,即,则,

,

,