Question

若对任意实数x，有x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，则a₀+a₁+a₃+a₅=

153

．

Answer 1

分析：根据 x⁵=[2+（x-2）]⁵，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出a₀、a₁、a₃、a₅的值，即可求得a₀+a₁+a₃+a₅ 的值．

解答：解：∵x⁵=[2+（x-2）]⁵=

C

0 5

•2⁵+

C

1 5

•2⁴（x-2）¹+

C

2 5

•2 3•(x-2) 2+…+

C

5 5

•2 0•(x-2) 5，
且 x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，
∴a₀+a₁+a₃+a₅=

C

0 5

•2⁵+

C

1 5

•2 4+

C

3 5

•2 2+

C

5 5

•2 0=32+80+40+1=153，
故答案为 153．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．