Question

已知函数f(x)=

x

+a|x+1|，a是实数．
（1）若函数f（x）有零点，求a的取值范围；
（2）当a=-1时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）有零点，即方程

x

+a|x+1|=0有非负实数解，采用参数分离法求a的取值范围；
 （2）当a=-1时，将解析式化简，看作关于

x

的二次函数求值域．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为[0，+∞）．
由函数f（x）有零点，即方程

x

+a|x+1|=0有非负实数解，
可得a=-

x

|x+1|

在x∈[0，+∞）上有解，
因为x+1≥2

x

≥0，所以0≤

x

|x+1|

≤

1

2

，
所以a的取值范围是[-

1

2

，0]．                           …（8分）
（2）当a=-1时，f(x)=

x

-|x+1|=

x

-(x+1)=-(

x

-

1

2

)2-

3

4

，x∈[0，+∞），
函数f（x）的值域为(-∞，-

3

4

]．                        …（14分）
第（1）用数形结合方法求解，参照给分．

点评：本题考查函数与方程，数形结合的思想．涉及到参数分离法，配方法等常用的解题方法．