Question

过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁的平面与平面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的正弦值的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：因为在正方体中，所以此题我们可以考虑两种极端情况：
1、当过BD₁的平面为平面BB₁D₁D时，此时平面BB₁D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，则二面角为

π

2

，所以正弦值为1；
2、当过BD₁的平面与面BB₁D₁D垂直时，二面角平面角最小，为∠BD₁B₁，所以正弦值为

3

3

．

解答：解：如图1所示：当过BD₁的平面为平面BB₁D₁D时，
∵平面BB₁D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴此时二面角最大，二面角为

π

2

，
∴正弦值为1，即为最大值；
如图2所示：当过BD₁的平面与面BB₁D₁D垂直时，二面角平面角最小，
∵平面A₁ACC₁⊥平面BB₁D₁D，
∴过BD₁的平面且与平面BB₁D₁D垂直的平面与平面A₁ACC₁平行，
∴所求二面角的平面角即可看成是平面A₁ACC₁与平面A₁B₁C₁D₁所成的二面角的平面角，
即∠MO₁B₁=∠BD₁B₁
∴tan∠BD₁B₁=tan∠MO₁B₁=

3

3

，
∴正弦值为

3

3

，即为最小值．
故答案为：[

3

3

，1]

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．