题目内容

已知函数f（x）=asinx-x+b在 $数学公式$ 处有极值（其中a，b都是正实数）．
（I）求a的值；
（II）对于一切 $数学公式$ ；
（III）若函数f（x）在区间 $数学公式$ 上单调递增，求实数m的取值范围．

解：（I）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1．
∵函数f（x）=asinx-x+b在 $\text{[math]}$ 处有极值，∴ $\text{[math]}$ ，解得a=2．…
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切 $\text{[math]}$ 恒成立．
记g（x）=x+cosx-sinx，∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴g^′（x）≤0，∴g（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上是减函数
∴g（x）_max=g（0）=1，
∴b＞1．…
（III）求导函数可得f′（x）=2cosx-1，
∵函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，
∴ $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ，
∴m∈（0，1]．…
分析：（I）求导函数，利用函数f（x）=asinx-x+b在 $\text{[math]}$ 处有极值，可求a的值；
（II）由题意b＞x+cosx-sinx对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，求出右边的最大值，即可求b的取值范围；
（III）求导函数，利用函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，建立不等式，即可求实数m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查函数的单调性，正确求导是关键．