Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．
（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使 成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：当 a=﹣1时，f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），
则 ，令f'（x）=0，得x=0．
当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=0时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，
所以f（x）max=f（0）=0，
所以，f（x）≤0，得证．
（Ⅱ）不等式 ，
即为 ．
而
= ．
令 ．故对任意t≥e，存在x∈（﹣1，+∞），使 恒成立，
所以 ，
设 ，则 ，
设u（t）=t﹣1﹣lnt，知 对于t≥e恒成立，
则u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，
于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，
即 对于t≥e恒成立，
所以 为[e，+∞）上的增函数，
所以 ；
设p（x）=﹣f（x）﹣a，即p（x）=﹣ln（x+1）﹣ax﹣a，
当a≥0时，p（x）为（0，+∞）上的减函数，
且其值域为R，可知符合题意．
当a＜0时， ，由p'（x）=0可得 ，
由p'（x）＞0得 ，则p（x）在 上为增函数，
由p'（x）＜0得 ，则p（x）在 上为减函数，
所以 ．
从而由 ，解得 ，
综上所述，a的取值范围是
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可；（Ⅱ）令 ，问题转化为 ，设 ，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．