Question

(22)已知a＞0,数列{a_n}满足a₁=a,a_n+1=a+,n=1,2,…

(Ⅰ)已知数列{a_n}极限存在且大于零,求A=a_n(将A用a表示);

(Ⅱ)设b_n=a_n－A,n=1,2,…,证明:b_n+1=－;

(Ⅲ)若|b_n|≤,对n=1,2,…都成立,求a的取值范围.

Answer 1

(22)本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法,考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

解：

(Ⅰ)由a_n存在,

且A=a_n(A＞0),对a_n+1=a+两边取极限得.

A=a+.解得A=.又A＞0,∴A=.

    (Ⅱ)由a_n=b_n+A,a_n+1=a+得b_n+1+A=a+,

 

∴b_n+1=a－A+=－+=－.

即b_n+1=－对n=1,2,…都成立.

 

(Ⅲ)令|b₁|≤,得|a－(a+)|≤.

∴|(－a)|≤.∴－a≤1,解得a≥.

现证明当a≥时,|b_n|≤,对n=1,2,…都成立.

(ⅰ)当n=1时结论成立(已验证).

(ⅱ)假设当n=k(k≥1)时结论成立,即|b_k|≤,那么

|b_k+1|=≤×.

故只需证明≤,

即证A|b_k+A|≥2对a≥成立.

由于A==，

而当a≥时，－a≤1,∴A≥2.

∴|b_k+A|≥A－|b_k|≥2－≥1,即A|b_k+A|≥2.

故当a≥时，|b_k+1|≤×=.

即n=k+1时结论成立.

根据(ⅰ)和(ⅱ)，可知结论对一切正整数都成立.

故|b_n|≤对n=1,2,…都成立的a的取值范围为［，+∞).