Question

在△ABC中，分别是,的中点，且，若恒成立，则的最小值为（  ）

A．             B．               C．              D．

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

试题分析：如图所示：

 

∵3AB=2AC，∴AC= AB，

又E、F分别为AC、AB的中点，

∴AE= AC，AF=AB，

∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA

=AB²+（AB）²-2AB• AB•cosA=AB²-AB²cosA，

在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA

=（AB）²+（AB）²-2•AB•AB•cosA=AB²-AB²cosA，

∴=,

∴=.

∵当cosA取最小值时，最大，

∴当A→π时，cosA→-1，此时 达到最大值，最大值为 ,

故 恒成立，t的最小值为.选A.

考点：余弦定理，余弦函数的性质，不等式恒成立问题。

点评：中档题，不等式恒成立问题，往往通过“分离参数”，转化成求函数的最值问题，解答本题的关键是，熟练掌握余弦定理，利用余弦定理建立三角形的边角关系。