Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）的图象在点（1，f（1））处与直线y=2相切．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．
（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，（3分）
∵曲线在点（1，f（1））处与直线y=2相切，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

3-3a=0 1-3a+b=2

，（5分）
解得

a=1 b=4

．（7分）
（2）∵f'（x）=3x²-3．（8分）
由f'（x）＞0，解得x＞1或x＜-1．（11分）
∴函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），（-∞，-1）；单调减区间为（-1，1）．（14分）

点评：考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间．解答的关键是利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性．