Question

【题目】已知函数（，且）．

（1）当时，设集合，求集合；

（2）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围；

（3）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】试题分析：（1）将代入，解对数不等式即可求出；（2）化简不等式，可得，即 ，再结合，列出不等式组即可求解；（3）原问题等价于当时， ，分别根据增减性求出两个函数的最小值即可建立不等式，解不等式即可求出的取值范围.

试题解析：

（1）由时，由得，即，解得

，所以．

（2）由得，所以可转化为； 在上恒成立，解得实数的取值范围为．

（3）对任意的，存在，使不等式恒成立，等价于

时， ．

当时，由复合函数的单调性可知为上的减函数， 为上的增函数， 等价于，即，解得；

当时， 为上的增函数， 为上的减函数， 等价于，即，解得．

综上，实数的取值范围为．