Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax，g(x)=f′(x)是函数f（x）的导函数，其中实数a是不等1的常数．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）设a＞1，若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围；
（3）若a＞-1，求函数|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值M（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）a=0时，求导，分析导函数的符号即可求得结果；（2）求得，分析导函数的符号，求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）有三个零点，因此得到函数的极大值大于零，极小值小于零，解此不等式组即可求得结论；（3）分类讨论，根据函数|g（x）|在区间[-1，1]内单调性即可求得其的最大值．

解答：（1）f′（x）=x（x-1），
∴函数f（x）在（-∞，0）及（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
（2）f′（x）=（x-a）（x-1），
由f（1）=

1

2

a-

1

6

＞0，f（a）=-

1

6

a3+

1

2

a2＜0，
解得a＞3；
（3）①当a＞1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是g（-1）=2a+2
②当-1＜a＜1时，0＜

a+1

2

＜1，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是
max{g（-1），|g（

a+1

2

）|}=max{2a+2，

(a-1)2

4

}
解不等式2a+2-

(a-1)2

4

＞0，得5-4

2

＜a＜5+4

2

∴当-1＜a＜5-4

2

时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是

(a-1)2

4

，
当5-4

2

≤a＜1时，|g（x）|在区间[-1，1]内的最大值是2a+2．
综上M（a）=

(a-1)2 4 ，-1＜a＜5-42 2a+2      ，5-42≤a＜1

．

点评：掌握导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题，考查了计算能力和分析解决问题的能力，体现了分类讨论的思想，是难题．