题目内容
已知函数f(x)=| 2x-1 | 2x+1 |
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．
分析：（1）先求出函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判定即可；
（2）先建立函数令g(x)=f(x)-lnx=
-lnx，计算g（1）与g（3）的值，利用根的存在性定理进行判定即可．
（2）先建立函数令g(x)=f(x)-lnx=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
解答：证明：（1）函数f（x）的定义域为R，且f(x)=
，则f(-x)=
=
所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．（6分）
（2）令g(x)=f(x)-lnx=
-lnx，则函数y=g（x）在（1，3）连续．
因为g(1)=
-ln1=
＞0，g(3)=
-ln3=
-ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．（12分）
| 2x-1 |
| 2x+1 |
| 2-x-1 |
| 2-x+1 |
| 1-2x |
| 2x+1 |
所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．（6分）
（2）令g(x)=f(x)-lnx=
| 2x-1 |
| 2x+1 |
因为g(1)=
| 21-1 |
| 21+1 |
| 1 |
| 3 |
| 23-1 |
| 23+1 |
| 7 |
| 9 |
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．（12分）
点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数奇偶性的判断，属于基础题．
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