Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx+ ﹣mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减，求m的取值范围；
（Ⅲ）设0＜a＜b，求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）m=﹣1时，f（x）=2lnx+ +x，
∴f′（x）= ﹣ +1，f（1）=2，f′（1）=2，
故切线方程是：y﹣2=2（x﹣1），
即2x﹣y=0；
（Ⅱ）f′（x）= ﹣ ﹣m≤0在x∈（0，+∞）恒成立，
即m≥ ﹣ 在x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）= ﹣ ，（x＞0），
∴m≥g（x）max ，
g（x）=﹣ +1，当 =1时，g（x）max=1，
故m≥1；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）m=1时，
f（x）=2lnx+ ﹣x在x∈（0，+∞）上递减，
∵0＜a＜b，∴ ＞1，
∴f（ ）＜f（1），
∴2ln + ﹣ ＜0，
lnb﹣lna＜ ，
即
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为m≥ ﹣ 在x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）= ﹣ ，（x＞0），根据函数的单调性求出m的范围即可；（Ⅲ）取m=1，根据函数的单调性得到f（ ）＜f（1），即2ln + ﹣ ＜0，从而证明结论即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．