Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a正方形，PD=2a，PA=PC=

5

a，
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求直线AC与平面PBC所成角的余弦值； 
（3）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．

Answer 1

分析：（1）先由题目给出的棱长判断PD⊥DA，PD⊥DC，由线面垂直的判定知PD⊥底面，从而得出PD⊥DB，再根据底面是正方形，得对角线互相垂直，然后由先面垂直的判定得AC⊥面PBD，由两面垂直的判定可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，求向量

AC

与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，则线面角的正弦值可求，运用同角三角函数基本关系式求线面角的余弦值；
（3）利用等积法求四棱锥内切球的半径．

解答：（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，因为底面ABCD是边长为a正方形，所以，AD=DC=a，在三角形PDA中，因为PD=2a，AD=a，PA=

5

a，
所以PD²+AD²=PA²，所以PD⊥AD，在三角形PDC中，同理可证PD⊥DC，又因为AD∩DC=D，所以PD⊥面ABCD，
因为AC?面ABCD，所以PD⊥AC，又AC⊥BD，PD∩BD=D，所以AC⊥面PBD，AC?面PAC，所以面PBD⊥面PA；
（2）解：分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），P（0，0，2a），
则

AC

=(-a，a，0)，设面PBC的一个法向量为

m

=(x，y，z)，

PB

=(a，a，-2a)，

PC

=(0，a，-2a)，
由

m • PB =0 m • PC =0

⇒

ax+ay-2az=0 ay-2az=0

，取z=1，则y=2，x=0，所以

m

=(0，2，1)，
设直线AC与平面PBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜

AC

，

m

＞|=|

AC • m

| AC || m |

|=|

-a×0+a×2+0×1

2a2 × 5

|=

10

5

，
所以直线AC与平面PBC所成角的余弦值cosθ=

1-( 10 5 )2

=

15

5

；
（3）解：在这个四棱锥中放入一个球，球与五个面内切时半径最大，设半径为r，
由四棱锥P-ABCD的体积等于以球心为顶点，四棱锥的五个面为底面的五个棱锥的体积和，
得：

1

3

×a×a×2a=

1

3

r(a×a+2×

1

2

×a×2a+2×

1

2

5

a×a)，解得：r=

2

3+ 5

a=

3- 5

2

a．
所以在这个四棱锥中放入一个球，球的最大半径为

3- 5

2

a．

点评：本题考查了平面和平面垂直的判定，考查了直线和平面所成的角，运用空间向量处理空间角的问题降低了题目难度，解答时要正确求出涉及到的平面的一个法向量，特别是运用平面法向量求面面角时要注意法向量的方向，此题是中档题．