Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，AB=2，P为线段AB上的动点．
（I）求证：CA₁⊥C₁P；
（II）若四面体P-AB₁C₁的体积为

1

6

，求二面角C₁-PB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证CA₁⊥C₁P，可先证CA₁⊥平面AC₁B，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CA₁与平面AC₁B内两相交直线垂直，而AB⊥CA₁，AC₁⊥CA₁，AC₁∩AB=A，满足定理条件；
（II）先求出P是AB的中点，然后连接A₁P，根据二面角平面角的定义可知∠C₁PA₁是二面角C₁-PB₁-A₁的平面角，在直角三角形C₁PA₁中求出此角的余弦值即可．

解答：（I）证明：连接AC₁，∵侧棱AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AB，又∵AB⊥AC．
∴AB⊥平面A₁ACC₁．又∵CA₁?平面A₁ACC₁，∴AB⊥CA₁．（2分）
∵AC=AA₁=1，∴四边形A₁ACC₁为正方形，∴AC₁⊥CA₁．
∵AC₁∩AB=A，∴CA₁⊥平面AC₁B．（4分）
又C₁P?平面AC₁B，∴CA₁⊥C₁P． （6分）
（II）解：∵AC⊥AB，AA₁⊥AC，且C₁A₁⊥平面ABB₁A，BB₁⊥AB，
由VP-AB1C1=VC1-PAB1=

1

6

，知

1

3

S△PAB1•C1A1=

1

3

× 

1

2

PA•BB1=

1

3

×

1

2

×PA×1=

1

6

，
解得PA=1，P是AB的中点．
（8分）
连接A₁P，则PB₁⊥A₁P，∵C₁A₁⊥平面A₁B₁BA，∴PB₁⊥C₁A₁，∴PB₁⊥C₁P，
∴∠C₁PA₁是二面角的平面角，（10分）
在直角三角形C₁PA₁中，C1A1=1，PA1=

2

，∴C1P=

3

，
∴cos∠C1PA1=

PA1

C1P

=

6

3

，即二面角的余弦值是

6

3

点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及二面角的度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．