Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=25，，直线l：mx-y+1-4m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与⊙C总有两个不同的交点A，B．
（2）求弦长AB的取值范围．
（3）求弦长为整数的弦共有几条．

Answer 1

分析：（1）利用直线系方程，求出直线经过的定点，判断定点与圆的位置关系，即可说明直线l与⊙C总有两个不同的交点A，B．
（2）求出弦长AB的最小值与最大值，即可得到弦长的取值范围．
（3）结合（2）求弦长为整数的弦共有几条．

解答：解：（1）由mx-y+1-4m=0可得：（x-4）m-y+1=0
令

x-4=0 -y+1=0

，∴

x=4 y=1

，
∴直线l过定点M（4，1）…（2分）
又4²+（1-1）²=16＜25，M（4，1）在⊙C内 …（4分）
∴直线l与⊙C交于两点…（5分）
（2）当直线l过圆心C时，AB取最大值，此时m=0…（7分）
当直线l⊥MC时，取最小值，MC=4，
∴AB=2

25-16

=6，
综上弦长的范围：6≤AB≤10…（10分）
（3）由（2）知：6≤AB≤10，故弦长为整数6时，直线有1条，而AB=10时有1条，
其它弦长，7，8，9的值有各有2条
故弦长为整数的弦共有8条．…（14分）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．