Question

已知数列{a_n}满足：①a₂＞0；②对于任意正整数p，q都有ap•aq=2p+q成立．
（I）求a₁的值；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若bn=(an+1)2，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）由②可得a1•a1=22，a1•a2=23，由①可得a₂＞0．
（II）由（I）及②可得a1an=21+n，再利用a₁=2即可得出．
（III）由（ II）可得bn=(an+1)2=4n+2n+1+1，可知{4ⁿ}，{2ⁿ⁺¹}分别为公比是4和2的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（I）由②可得a1•a1=22，a1•a2=23，
由①可得a₁=2＞0．
（II）由（I）及②可得a1an=21+n，
∴an=2n．
∴数列{a_n}的通项公式an=2n．
（III）由（ II）可得bn=(an+1)2=4n+2n+1+1，
可知{4ⁿ}，{2ⁿ⁺¹}分别为公比是4和2的等比数列，
由等比数列求和公式可得Sn=

4(1-4n)

1-4

+

4(1-2n)

1-2

+n=

1

3

(4n+1-16)+2n+2+n．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式、递推式的意义等基础知识与基本技能，属于中档题．