Question

设函数y＝f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x₁，x₂，恒有f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)．

(1)求f(1)的值；

(2)求证y＝f(x)是偶函数；

(3)已知y＝f(x)为区间(0，＋∞)上的增函数，求适合f(log₂x)＞0的x的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)因为f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，所以当x₁＝x₂＝1时有f(1)＝f(1)＋f(1)，即得f(1)＝0．

　　(2)由(1)可知f(1)＝0，而f(1)＝f((－1)·(－1))＝2f(－1)＝0，可得f(－1)＝0．

　　因为x∈R且x≠0，定义域关于原点对称．而对定义域内的任意x，都有

　　f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．所以函数y＝f(x)是偶函数．

　　(3)由题意可得，f(log₂x)＞0即f(log₂x)＞f(1)．因为函数为偶函数且在区间(0，＋∞)上是增函数，所以有|log₂x|＞1，解得x＞2或0＜x＜，即x∈(0，)∪(2，＋∞)．

　　点评：在证明此函数为偶函数时，要注意：函数的定义域要关于原点对称；对于定义域内的任意一个自变量x，都有f(－x)＝f(x)．这就要求在解题时利用(1)中所得的f(1)＝0求出f(－1)＝0，进而得出f(－x)＝f(x)，偶函数得到证明．对于(3)则要求学生根据偶函数图象的特征作出判断，即偶函数在y轴两边的单调性相反．函数值的大小就依靠自变量离对称轴的远近来确定，从而减少讨论的麻烦．

提示：

本题的切入点是f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，所以解题时要充分利用这个等式．