Question

如下图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂.

(1)用a、θ表示S₁和S₂；

(2)当a固定，θ变化时，求取最小值时的角θ.

Answer 1

解：(1)∵AC=asinθ,AB=acosθ,∴S₁=a²sinθcosθ=a²sin2θ.

    设正方形边长为x,则BQ=xcotθ,RC=xtanθ,∴xcotθ+x+xtanθ=a,

x=.

∴S₂=()²=.

(2)当a固定，θ变化时，

=

=(+sin2θ+4).

    令sin2θ=t,则=(t++4).

∵0＜θ＜,∴0＜t≤1.

    令f(t)=t+,任取t₁、t₂∈(0,1)，且t₁＜t₂,

f(t₁)-f(t₂)=t₁-t₂+-

=(t₁-t₂)-

=(t₁-t₂)().

∵t₁-t₂＜0,0＜t₁t₂＜1,t₁t₂-4＜0,

∴f(t₁)-f(t₂)＞0.

∴f(t)=t+在(0,1)上是减函数.

∴t=1时，取最小值，此时θ=.