Question

【题目】已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）本小题考查用导数的几何意义求切线方程，首先求出导数，计算，这就是切线斜率，由点斜式写出切线方程，化简即可；（2）函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，说明在区间上存在，使，由于是连续的，因此如果在有最大值，则最大值必大于等于1，如有最小值，则最小值必小于等于1，（或存在小于1的值，也存在大于1的值），因此可用导数研究函数的单调性与极值、最值得出结论．

试题解析：（1）∵，∴且．

又∵，

∴．

∴在点处的切线方程为：，即．

（2），

（ⅰ）当，即时，

由在上是增函数，在上是减函数，

∴当时，取得最大值，即．

又当时，，当时，，

当时，，

所以，的图象与的图象在上有公共点，

等价于，解得，

又因为，所以．

（ⅱ）当，即时，在上是增函数，

∴在上的最大值为，

∴原问题等价于，解得，

又∵，∴无解．

综上，的取值范围是．