Question

设关于x的方程2x²－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=. 

(1)求f(α)·f(β)的值；

(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；

(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？

Answer 1

(1)16， (2)证明略(3) f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2

解析:

(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4，f(α)·f(β)=4×4=16

(2)设φ(x)=2x²－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,

∴函数f(x)在(α，β)上是增函数

(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,

∵|f(α)·f(β)|=4,

∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，

f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.