Question

已知圆C：x²+y²-2ax-2（2a-1）y+4（a-1）=0，其中a∈R．
（1）证明圆C过定点；
（2）当圆心变化时，求圆心的轨迹方程；
（3）求面积最小的圆C．

Answer 1

分析：（1）分离参数a，令相应的系数为0，解方程组可得结论；
（2）确定圆心坐标，消去参数，可得圆心的轨迹方程；
（3）由（1）知圆C总过定点A（2，0）与B(-

2

5

，

6

5

)，所以当线段AB是圆C的直径时，圆C的面积最小．

解答：（1）证明：圆C的方程化为x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0
令

x2+y2+2y-4=0 -2x-4y+4=0

，解得

x=2 y=0

或

x=- 2 5 y= 6 5

，
∴无论a取何值时，圆C经过两个定点A（2，0）与B(-

2

5

，

6

5

)
（2）解：设圆心为C（x，y）则

x=a y=2a-1

，消去a，可得y=2x-1，
∴当a变化时，圆C的圆心的轨迹方程是直线2x-y-1=0．
（3）解：由（1）知圆C总过定点A（2，0）与B(-

2

5

，

6

5

)，所以当线段AB是圆C的直径时，圆C的面积最小，最小值为S=π(

|AB|

2

)2=

9π

5

．

点评：本题考查圆的方程，考查圆心的轨迹，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．